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複勝の確率

複勝の確率の計算は、いろいろと計算が面倒になる。まず、日本の競馬界では、7頭以下の競争の場合、該当の馬が2着までに入った場合に払い戻しがあるのに対して、8頭以上の競争の場合、3着までに入った場合に払い戻しが受けられる。前者を2頭複勝、後者を3頭複勝と呼ぶ。(英語ではそれぞれplace bet, show betと呼ぶのだが、複勝馬券をよくみると英語でplace, showと書き込んである)

まずは、2頭複勝について確率を計算してみる。馬aが2頭複勝に該当するということは() aが一着、もしくは() a以外の馬が一着でaが二着になる、ということだから、



である。ここで、*は任意の重複しない馬を指し(この場合、a以外のすべての馬)、また、



は、nがa以外の場合について総和をとると言う意味の記号である。たとえば、5頭立て、a,b,c,d,eという馬がいたとする。このとき、



と書くことができる。
3頭複勝に関してはさらに複雑である。aの3頭複勝は場合分けをすると、

() aが1着になる
() a以外が1着になりaが2着になる
() a以外が1着と2着になりaが3着になる

という場合が考えられる。すると、aに関する3頭複勝の確率は



である。
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