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『真の確率』について考える(1)

[長いことほっておいてすいません。少しずつ書いていこうとは思っているのですけれど]

よく人のブログなんかを見ていると「18頭立ての三連単は4896通りだから,三連単の馬券が当たる確率は4896分の1だ」なんていう意見があるけれど,これはまったくもって嘘っぱちである。

別の例を引き合いに出そう.もし,ふつうの立方体のサイコロに

5面が「1」
残りの1面が「2」

と書いてあったら,「1」のマス目が出る確率は2分の1になるだろうか?

どう考えたって、そうはならない。「1」のマス目が出る確率は6分の5で,「2」のマス目が出る確率が6分の1だ。

すなわち,場合の数が2通りであるからといって,確率は2分の1にはなるとは限らない.同様に,18頭立ての三連単が4896通りあるからといって,確率は4896分の1にはならない(少なくともなるとは限らない)のである.

この点は非常によく誤解される.高校数学でぼくもドツボにはまった.実際のところ,確率は場合の数とは本来関係がないものであると考えてもいいぐらいだと思う.そして,「真の確率」を前もって予測できることなどまずない.

待てよ??「真の確率」が予測できないって???
サイコロの「1」のマス目が出るのは,6分の5だと計算できたじゃないか???

実は,サイコロの場合には強力な仮定が間に挟まっている.それはどこかで聞き覚えのある「同様に確からしい」というやつだ.

つまり,サイコロの6面はどの面を向く確率も「同様に確からしい」。6つの面のどいつもこいつも,おんなじ確率ででやがるだろうぜと「仮定」した結果,それぞれの面がでる確率は6分の1となり,そのうち5個を占めている「1」のマス目は6分の5で出るだろうと計算されるわけだ.

重心がちょうどまんなかにあるコインでもおんなじことが言える.表面と裏面がでる確率が「同様に確からしい」ので,表・裏の面はそれぞれ2分の1の確率で出るといえるのだ。

Q. 「重心がちょうど真ん中にあるかどうか」を確かめていないコインだったら,表がでる確率はいくらであるか?
A. わかりようがない(過去の経験からこんぐらいっぽいというのは計算可能であるが,それはまた別の話)

要するに,ある事柄についておんなじ確率ででることが真理であるなら,「真の確率」が計算できることになるけれど,普通に考えたら,三連単の組み合わせ4896通りが全部まったくおんなじ確率で来るという仮定がまったくナンセンスである.だから,冒頭にのべたように「ある三連単の馬券が当たる確率は4896分の1だ」というのもナンセンス。

そう考えると,「真の確率」なんかあらかじめ計算できるほうがまれなのである。高校生の自分に会いに行って,そんなもん普通は計算できっこないんだぞって教えてあげたい。受験には役立たないけど。

(余談ですが,市販のサイコロを使うと、「5」のマス目が一番出る確率が高いそうです。昔、トリビアの泉でやってました。理由は各面で「目」が削られているため,重心が中心に一致しないから。それぞれの面が同じ確率で出るっていうのはあくまで確からしいっていう「仮定」に立脚してたからなんだっていうことがよくわかるエピソードです)
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