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ベット数の計算(1)

[今回の内容は中学・高校数学の範囲内です]

競馬にはさまざまな式別があるが、すべて買ったとしたらどれだけの点数になるだろうか。
それを計算するために利用するのが数学用語で言うところの「場合の数」もしくは「組み合わせ」というものだ。当面、簡単のため4頭立てで話を進めることにしよう。馬の名前はa,b,c,dとしておく。

馬単の場合を考えよう。1頭目に来る可能性があるのは、当然4頭いる。

a
b
c
d

そして、いま1頭目にbが来ることを考えると2頭目に来るのはa,c,dのいずれかだ。

b-a, b-c, b-d

つまり、2着馬の可能性としては、1着目の1つにつき3通りあるということになる。結局、全体としては4×3=12通りだ。すべてを列挙すると、1着2着の順に次のようになる。

a-b, a-c, a-d
b-a, b-c, b-d
c-a, c-b, c-d
d-a, d-b, d-c

次は馬連を考えてみよう。馬単のときは3×4=12通りだったわけだが、馬連にa-bとb-aなどという区別は無い。aが先に来ようがbが先に来ようが、a-bはa-bでしかないのだ。だから、何通りになるかといえば、馬単の場合の半分12÷2=6通りなわけである。一応、組み合わせを列挙しておくと

a-b, a-c, a-d, b-c, b-d, c-d

である。

今度は三連単を考えてみる。1着馬にb, 2着馬にdを選んだとすると、3着馬として選びうるのはaもしくはcの2頭である。1着馬、2着馬の選び方は12通りあり、その12通りの組み合わせの1つ1つに2通りずつ選び方があることになる。すなわち12×2=24通りだ。

a-b-c, a-b-d
a-c-b, a-c-d
a-d-b, a-d-c
b-a-c, b-a-d
b-c-a, b-c-d
b-d-a, b-d-c
c-a-b, c-a-d
c-b-a, c-b-d
c-d-a, c-d-b
d-a-b, d-a-c
d-b-a, d-b-c
d-c-a, d-c-b

最後に、三連複の場合の数を考えてみる。 この場合、例えば三連単の場合のa-b-c, a-c-b, b-a-c, b-c-a, c-a-b, c-b-aというのは三連複で言うところのa-b-cの1通りにすぎない。三連単の6つの場合が三連複の1つの場合にまとめられてしまうのだ。この結果、三連複の場合の数は24÷6=4通りということになる。

a-b-c, a-b-d, a-c-d, b-c-d

ここまで書いてきたことをまとめよう。

[馬単]4×3=12
[馬連]4×3÷2=6
[三連単]4×3×2=24
[三連複]4×3×2÷6=4

実は、[馬単]と[三連単]は高校数学で言うところの「順列」に相当し、[馬連]と[三連複]は高校数学で言うところの「組み合わせ」に相当するのだ。順序を気にするものと気にしないものという程度の差として認識しておけばよいだろう。4頭立てで話をすすめてきたが、N頭立てでも結局同じことで、

[馬単]N×(N-1)
[馬連]N×(N-1)÷2
[三連単]N×(N-1)×(N-2)
[三連複]N×(N-1)×(N-2)÷6

ということになる。ワイドは馬連と同じように考えればいいので計算式は馬連と一緒で

[ワイド]N×(N-1)÷2

となる。枠連の場合の組み合わせはワイドの組み合わせの計算方法に似ているが少しややこしい。9頭以上馬がいる場合には、ぞろ目の組み合わせができるので、9頭以上16頭以下の場合に1ずつ増えていく。すなわち、

[枠連]MIN(N×(N-1)÷2,28)+MIN(MAX(N-8,0),8)

ただし、MAX(A,B)とMIN(A,B)は,AとBのうち,それぞれ大きい方と小さい方を採用するという意味である(例えば、MIN(10,15)=10, MAX(12,8)=12である)。例として、18頭立ての場合について、それぞれの式別で何通りずつ購入できるか計算してみると、

[馬単]18×17=306通り
[馬連・ワイド]18×17÷2=153通り
[三連単]18×17×16=4896通り
[三連複]18×17×16÷6=816通り
[枠連]8×7÷2+MIN(MAX(10,0),8)=28+MIN(10,8)=28+8=36通り

である。

#枠連の計算方法について修正(2010/6/28)
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