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単勝馬券の支持率と的中率の関係(1)

[久しぶりの更新です。ご無沙汰しています]

さて、前にも少し話をしたのだが、単勝馬券の支持率はその馬がどれだけの確率で勝つかを示すよい指標となりうる。日本中央競馬会の1995年から2007年までのデータを用いて、実際にそのことを示すことにしよう。

的中率と支持率

それぞれの単勝馬券の的中率を、単勝馬券を支持率5%ごと(支持率0-5%、支持率5-10%・・・といった感じ)に分類してならべたものが上の図である。点々が単勝支持率と的中率の関係を表している。黒い直線に完全に乗っていれば、単勝支持率が的中率をよく表しているということを意味している。例えば、20%の支持率である単勝馬券のうち約20%が的中しているということを意味している。

この図をみると、少なくとも二つのことがすぐにわかる。ひとつは、支持率が65%以下の場合には、だいたい支持率と馬券の的中率が対応しているということである。ここでは、5%刻みであらっぽく分類しているが、高橋正視さんが述べているように、単勝支持率3%の馬券を集めてきたら、その馬券の的中率は3%、単勝支持率5%の馬券を集めてきたら、その馬券の的中率は5%といった具合になっている。馬券購入者全体としては、おおよそ的中率をよくわきまえて馬券を購入していると考えられる。(ただし、すぐあとの項で、これは必ずしも「完全な」確率の予想ではない可能性が残されていることを指摘する)

もうひとつ、65%を超える場合には支持率よりも的中率が大きくなるということである。しかし、少し考えてみるとこれは馬券行動学的に説明がつく現象である。というのは、この当時、単勝支持率が73.9%を超えた時点でオッズは1.0倍となり、的中しても掛け金がそのまま返ってくる、いわゆる「100円元返し」になっていたからだ。ある馬が圧倒的に実力を持っていて、勝つことが分かっていた多くの人も、儲けられないことが分かっていたので必然的にその馬の単勝を買わない、という状況が出来上がっていた。だから、支持率は的中率よりも低くなっていたと考えられるのである。

馬券購入者の平均的な購入心理というのは、ここに見られるように、基本的には実利に根差したものであることが多い。儲かると考えられる馬券を購入したいと考えるために、それが実際の投票行動に大きくつながってくるのである。当たり前、と言ってしまえばそれまでなのだが、このように冷徹な投票行動ばかりが見られるわけではない。馬券購入者というのは神頼みになってしまったり、自暴自棄になってしまったり、総員としての思い違いがあったりして、実際の的中率を大外ししてしまったりすることも少なくないはずで、実際にそのような関係もデータから見ることができるのであるが、それはまたのちの話である。
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「ファンダメンタル分析」と「テクニカル分析」

[すいません,前回と全然関係ない内容になっております。思いついたとおり書いていますので。まとまったら,順序どおり並べます]

"Racetrack Betting"の冒頭(page 2)にも述べられている通り,競馬の的中確率を分析し,的中率・回収率の向上を目指すという意味では二つの方向性がありえる.ひとつは「ファンダメンタル分析(Fundamental Analysis)」,そしてもう一つは「テクニカル分析(Technical Analysis)」である.「ファンダメンタル分析」というのは,馬の勝利や着タイムといった結果に対してどのような要因が寄与していたかを調べる方法である.例えば,「血統」や「騎手の能力」など,さまざまなものが考えられる.それに対して,「テクニカル分析」というのは,いうなればオッズや支持率といった「馬の人気」にそれらの要因はすべて込められており,それらを追うことで実態は把握できるという立場である.これらの用語は本来,株価の分析に対して用いられている単語なのであるが,ほぼ同様の意味合いで競馬の統計解析に応用することができる.

最初のほうで,簡単な確率予測モデルの話をしたが,実は確率を計算する上で,私は一切,馬に関する性質を議論していないのに,予測モデルが構築できることを示した.これは実は「テクニカル分析」の立場で構築を行ったことになる.

複勝の確率

複勝の確率の計算は、いろいろと計算が面倒になる。まず、日本の競馬界では、7頭以下の競争の場合、該当の馬が2着までに入った場合に払い戻しがあるのに対して、8頭以上の競争の場合、3着までに入った場合に払い戻しが受けられる。前者を2頭複勝、後者を3頭複勝と呼ぶ。(英語ではそれぞれplace bet, show betと呼ぶのだが、複勝馬券をよくみると英語でplace, showと書き込んである)

まずは、2頭複勝について確率を計算してみる。馬aが2頭複勝に該当するということは() aが一着、もしくは() a以外の馬が一着でaが二着になる、ということだから、



である。ここで、*は任意の重複しない馬を指し(この場合、a以外のすべての馬)、また、



は、nがa以外の場合について総和をとると言う意味の記号である。たとえば、5頭立て、a,b,c,d,eという馬がいたとする。このとき、



と書くことができる。
3頭複勝に関してはさらに複雑である。aの3頭複勝は場合分けをすると、

() aが1着になる
() a以外が1着になりaが2着になる
() a以外が1着と2着になりaが3着になる

という場合が考えられる。すると、aに関する3頭複勝の確率は



である。

馬単・馬連・三連複・三連単の確率


各馬a,b,cの単勝で勝つ確率がと分かっているとき、馬単でa-bが来る確率を計算したい。

直感的には「aが1着で来て、かつ、bがa抜きの競争で1着になること」だから、



と書くことができる。馬連でa-bを買うなら、馬単a-bと馬単b-aの組み合わせでいい。だから、



とすればよい。ここで、[ ]はカッコは中身の着順を問わないことを表す。

三連単a-b-cが来る確率は、直感的には「aが1着で来て、かつ、bがa抜きの競争で1着になり、かつ、cがaとb抜きの競争で1着になる」ことだから、



である。三連複a-b-cの確率は三連単a-b-c,a-c-b,b-a-c,b-c-a,c-a-b,c-b-aの組み合わせの和になるから。





である。
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